sexta-feira, 3 de agosto de 2012

Matemática: Fatoração de Polinômios

Fatorar um polinômio é escrever o mesmo como multiplicação de dois ou mais polinômios.
Os processos para fatorar polinômios são denominados: fatoração por agrupamento, fatoração completa, fatoração da diferença de dois quadrados, fatoração pelo fator comum em evidência, fatoração do trinômio quadrado perfeito, fatoração do trinômio do segundo grau, fatoração da soma ou diferença de dois cubos, fatoração por artifício.

Fatoração pelo fator comum em evidência

Considere o polinômio 14ab+7bc, seu fator comum em evidência é 7b, dividindo cada termo do polinômio pelo fator comum em evidência 14ab:7b=2a e 7bc:7b=c, a forma fatorada de um polinômio pelo fator comum em evidência é igual ao produto do fator comum em evidência pelo polinômio obtido da divisão de cada termo do polinômio, logo a forma fatorada de 14ab+7bc=7b.(2a+c). O fator comum em evidência pode ser aplicado em todos os termos do polinômio.
Outros exemplos:
  • 15x+9y=3.(5x+3y)
  • 50-10y=10.(5-y)
Fatoração por agrupamento

Observe o polinômio ab-b^2+2a-2b. Este polinômio não possui um fator comum para ser aplicado em todo o mesmo, a solução é fazer pequenos grupos de polinômios a partir do polinômio principal, veja:
ab-b^2+2a-2b=(ab-b^2)+(2a-2b), logo podemos fatorar os pequenos grupos formados do polinômio principal:

ab-b^2=b(a-b)
2a-2b=2(a-b),
obtemos a fatoração de ab-b^2+2a-2b=b(a-b)+2(a-b), nota-se que os termos entre parênteses são iguais, permitindo uma nova aplicação do fator comum em evidência: (a-b)(b+2). A forma fatorada de ab-b^2+2a-2b=b(a-b)+2(a-b)=(a-b)(b+2).

Outro exemplo:
a^4-a^5+a^2b-a^3b=a^2(a^2-a^3)+b(a^2-a^3)=(a^2-a^3)(a^2+b)

Fatoração da diferença de dois quadrados

Considere o polinômio m^2-n^2, que é uma diferença de dois quadrados, para fatorar o mesmo devemos obter a raiz quadrada do primeiro termo \sqrt{m^2}=m menos a raiz quadrada do segundo termo -\sqrt{n^2}=-n, logo temos \sqrt{m^2}-\sqrt{n^2}=m-n, devemos, agora, multiplicar o polinômio resultante das raizes dos termos iniciais pelo seu oposto: (m-n).(m+n), logo a fatoração da diferença de dois quadrados é igual à raiz quadrada do primeiro termo menos a raiz quadrada do segundo termo vezes o oposto: m^2-n^2=(\sqrt{m^2}-\sqrt{n^2}).(\sqrt{m^2}+\sqrt{n^2})=(m-n).(m+n), ou simplesmente m^2-n^2=(m-n).(m+n).

Outros exemplos:
(n+8)^2-1=[(n+8)+1].[(n+8)-1]=[n+8+1].[n+8-1]=[n+9].[n+7]
a^4-b^4=(a^2+b^2).(a^2-b^2)=(a-b).(a+b).(a^2+b^2)


Postado por às 10:20
Marcadores:

Nenhum comentário:

Postar um comentário

Assinar: Postar comentários (Atom)