Cbv News: Matemática

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terça-feira, 11 de setembro de 2012

Matemática: Trinômio do Segundo Grau

Trinômio do segundo grau

x² +7x +12

Nesta última técnica, procuramos identificar na expressão, um trinômio do
segundo grau. No exemplo acima, se observarmos atentamente, notaremos
que -7 é a soma das raízes da equação e 12 é o produto destas raízes.

Lembrete: Numa equação do segundo grau a soma das raízes é dada por
-b/a e o produto é dado por c/a, sabendo-se que neste caso a=1, b=7,
e c=12, fica fácil perceber que a Soma é -7/1=-7 e o Produto é 12/1 = 12.

Agora que sabemos a soma (-7) e o produto (12) calculamos por tentativa,
dois número cuja soma seja -7 e o produto seja 12...é claro que os números
são -3 e -4 pois (-3) + (-4) = -7 e (-3).(-4) = 12. Daí escrevemos os fatores
(x - primeira raiz ).(x - segunda raiz) = (x - (-3).(x - (-4) = (x + 3) (x + 4).

Note que efetuando a multiplicação dos fatores (x + 3) (x + 4) obteremos
a expressão original x² +7x +12.

sexta-feira, 3 de agosto de 2012

Matemática: Fatoração de Polinômios

Fatorar um polinômio é escrever o mesmo como multiplicação de dois ou mais polinômios.
Os processos para fatorar polinômios são denominados: fatoração por agrupamento, fatoração completa, fatoração da diferença de dois quadrados, fatoração pelo fator comum em evidência, fatoração do trinômio quadrado perfeito, fatoração do trinômio do segundo grau, fatoração da soma ou diferença de dois cubos, fatoração por artifício.

Fatoração pelo fator comum em evidência

Considere o polinômio $14ab+7bc,$ seu fator comum em evidência é $7b,$ dividindo cada termo do polinômio pelo fator comum em evidência $14ab:7b=2a$ e $7bc:7b=c,$ a forma fatorada de um polinômio pelo fator comum em evidência é igual ao produto do fator comum em evidência pelo polinômio obtido da divisão de cada termo do polinômio, logo a forma fatorada de $14ab+7bc=7b.(2a+c).$ O fator comum em evidência pode ser aplicado em todos os termos do polinômio.
Outros exemplos:

$15x+9y=3.(5x+3y)$
$50-10y=10.(5-y)$

Fatoração por agrupamento

Observe o polinômio $ab-b^2+2a-2b.$ Este polinômio não possui um fator comum para ser aplicado em todo o mesmo, a solução é fazer pequenos grupos de polinômios a partir do polinômio principal, veja:
$ab-b^2+2a-2b=(ab-b^2)+(2a-2b),$ logo podemos fatorar os pequenos grupos formados do polinômio principal:

$ab-b^2=b(a-b)$
$2a-2b=2(a-b),$
obtemos a fatoração de $ab-b^2+2a-2b=b(a-b)+2(a-b),$ nota-se que os termos entre parênteses são iguais, permitindo uma nova aplicação do fator comum em evidência: $(a-b)(b+2).$ A forma fatorada de $ab-b^2+2a-2b=b(a-b)+2(a-b)=(a-b)(b+2).$

Outro exemplo:
$a^4-a^5+a^2b-a^3b=a^2(a^2-a^3)+b(a^2-a^3)=(a^2-a^3)(a^2+b)$

Fatoração da diferença de dois quadrados

Considere o polinômio $m^2-n^2,$ que é uma diferença de dois quadrados, para fatorar o mesmo devemos obter a raiz quadrada do primeiro termo $\sqrt{m^2}=m$ menos a raiz quadrada do segundo termo $-\sqrt{n^2}=-n,$ logo temos $\sqrt{m^2}-\sqrt{n^2}=m-n,$ devemos, agora, multiplicar o polinômio resultante das raizes dos termos iniciais pelo seu oposto: $(m-n).(m+n),$ logo a fatoração da diferença de dois quadrados é igual à raiz quadrada do primeiro termo menos a raiz quadrada do segundo termo vezes o oposto: $m^2-n^2=(\sqrt{m^2}-\sqrt{n^2}).(\sqrt{m^2}+\sqrt{n^2})=(m-n).(m+n),$ ou simplesmente $m^2-n^2=(m-n).(m+n).$

Outros exemplos:
$(n+8)^2-1=[(n+8)+1].[(n+8)-1]=[n+8+1].[n+8-1]=[n+9].[n+7]$
$a^4-b^4=(a^2+b^2).(a^2-b^2)=(a-b).(a+b).(a^2+b^2)$

quarta-feira, 13 de junho de 2012

Matemática: Conteúdo do Parcial - II unidade

Oi gente, aqui está o conteúdo do parcial da segunda unidade:

Monômios
Polinômios
Fração Geratriz
Cálculo Algébrico

Podem estudar pelo blog, todos os assuntos estão aqui, exceto o de cálculo algébrico, bjs.

Matemática: Divisão de Polinômios

Dividir um polinômio f(x) (dividendo) por um g(x) (divisor diferente de 0) consiste em dividir f por g e determinar novos polinômios q(x) (quociente) e r (resto).

Assim temos que f(x) = g(x).q(x) + r(x) e que o grau de q(x) será sempre menor que f(x).
Se r(x) = 0 dizemos que a divisão é exata, ou ainda que o polinômio f(x) é divisível por g(x).
Método de divisão da chave (análogo ao numérico) Exemplo:

• Primeiro deve-se escolher o primeiro termo do quociente, que deve ser multiplicado pelos termos do divisor.

• Segundo passo é passar o inverso do resultado para subtrair do polinômio.

• Agora deve-se repetir o primeiro passo, escolher o termo conveniente para multiplicar pelo primeiro termo do divisor para que fique igual ao primeiro termo do polinômio que foi resultado do primeira operação.

• Repetir o mesmo processo do segundo passo.

Assim temos que q(x) = x + 4 e que r(x) = – x -3.

Dispositivo prático de Briot-Ruffini.
Quando necessitarmos dividir um polinômio por um binômio poderemos utilizar este dispositivo.
Por exemplo ao dividirmos o polinômio p(x) = 2x⁴ – 2x² + 3x +1 por x – 1. (devem ser colocados todos os coeficientes. nesse caso precisaremos adicionar o coeficiente zero, que seria de x³)

Na segunda linha, repetimos o primeiro número da linha acima (no caso, o número 2). Em seguida, multiplica-se esse número pela raiz e somamos o próximo número da linha superior. Repetir essa operação até que acabem os números da linha superior.

Assim o quociente da divisão é 2x³ + 2x² + 0x¹ + 3 e o resto é 4.

quinta-feira, 31 de maio de 2012

Matemática: Multiplicação de Polinômios

Multiplicação de monômio com polinômio

• Se multiplicarmos 3x por (5x² + 3x – 1), teremos:
3x . ( 5x² + 3x – 1) → aplicar a propriedade distributiva.

3x . 5x² + 3x . 3x + 3x . (-1)

15x³ + 9x² – 3x

Portanto: 3x (5x² + 3x – 1) = 15x³+ 9x² – 3x

• Se multiplicarmos -2x² por (5x – 1), teremos:

-2x² (5x – 1) → aplicando a propriedade distributiva.

-2x² . 5x – 2x² . (-1)

- 10x³ + 2x²

Portanto: -2x²(5x – 1) = - 10x³ + 2x²

Multiplicação de número natural

• Se multiplicarmos 3 por (2x² + x + 5), teremos:

3 (2x² + x + 5) → aplicar a propriedade distributiva.

3 . 2x² + 3 . x + 3 . 5

6x² + 3x + 15.

Portanto: 3 (2x² + x + 5) = 6x² + 3x + 15.

Multiplicação de polinômio com polinômio

• Se multiplicarmos (3x – 1) por (5x² + 2)

(3x – 1) . (5x² + 2) → aplicar a propriedade distributiva.

3x . 5x² + 3x . 2 – 1 . 5x² – 1 . 2

15x³ + 6x – 5x² – 2

Portanto: (3x – 1) . (5x² + 2) = 15x³ + 6x – 5x² – 2

• Multiplicando (2x²+ x + 1) por (5x – 2), teremos:

(2x² + x + 1) (5x – 2) → aplicar a propriedade distributiva.

2x² . (5x) + 2x² . (-2) + x . 5x + x . (-2) + 1 . 5x + 1 . (-2)

10x³ – 4x² + 5x² – 2x + 5x – 2

10x³+ x² + 3x – 2

Portanto: (2x² + x + 1) (5x – 2) = 10x³+ x² + 3x – 2

quarta-feira, 30 de maio de 2012

Matemática: Dízima Periódica

Há frações que não possuem representações decimal exata. Por exemplo:

Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas.

Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, constituem o período dessa dízima.

As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas. Exemplos:

(período: 5)

(período: 3)

(período: 12)

São dízimas periódicas simples, uma vez que o período apresenta-se logo após a vírgula.

Período: 2
Parte não periódica: 0

Período: 4
Período não periódica: 15

Período: 23
Parte não periódica: 1

São dízimas periódicas compostas, uma vez que entre o período e a vírgula existe uma parte não periódica.

Observações:

Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre vírgulas e o período. Excluímos portanto da parte não periódica o inteiro.

Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras:

Geratriz de uma dízima periódica

É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica.

Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima:

Dízima simples

A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período.

Exemplos:

Matemática: Adição e Subtração de Polinômios

O procedimento utilizado na adição e subtração de polinômios envolve técnicas de redução de termos semelhantes, jogo de sinal, operações envolvendo sinais iguais e sinais diferentes. Observe os exemplos a seguir:

Adição

Exemplo 1

Adicionar x² – 3x – 1 com –3x² + 8x – 6.

(x² – 3x – 1) + (–3x² + 8x – 6) → eliminar o segundo parênteses através do jogo de sinal.

+(–3x²) = –3x²
+(+8x) = +8x
+(–6) = –6

x² – 3x – 1 –3x² + 8x – 6 → reduzir os termos semelhantes.

x² – 3x² – 3x + 8x – 1 – 6

–2x² + 5x – 7

Portanto: (x² – 3x – 1) + (–3x² + 8x – 6) = –2x² + 5x – 7

Exemplo 2

Adicionando 4x² – 10x – 5 e 6x + 12, teremos:

(4x² – 10x – 5) + (6x + 12) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal.

4x² – 10x – 5 + 6x + 12 → reduzir os termos semelhantes.

4x² – 10x + 6x – 5 + 12

4x² – 4x + 7

Portanto: (4x² – 10x – 5) + (6x + 12) = 4x² – 4x + 7

Subtração
Exemplo 3

Subtraindo –3x² + 10x – 6 de 5x² – 9x – 8.

(5x² – 9x – 8) – (–3x² + 10x – 6) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal.

– (–3x²) = +3x²
– (+10x) = –10x
– (–6) = +6

5x² – 9x – 8 + 3x² –10x +6 → reduzir os termos semelhantes.

5x² + 3x² – 9x –10x – 8 + 6

8x² – 19x – 2

Portanto: (5x² – 9x – 8) – (–3x² + 10x – 6) = 8x² – 19x – 2

Exemplo 4

Se subtrairmos 2x³ – 5x² – x + 21 e 2x³ + x² – 2x + 5, teremos:

(2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) → eliminando os parênteses através do jogo de sinais.

2x³ – 5x² – x + 21 – 2x³ – x² + 2x – 5 → redução de termos semelhantes.

2x³ – 2x³ – 5x² – x² – x + 2x + 21 – 5

0x³ – 6x² + x + 16

– 6x² + x + 16

Portanto: (2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) = – 6x² + x + 16

Exemplo 5
Considerando os polinômios A = 6x³ + 5x² – 8x + 15, B = 2x³ – 6x² – 9x + 10 e C = x³ + 7x² + 9x + 20. Calcule:

a) A + B + C

(6x³ + 5x² – 8x + 15) + (2x³ – 6x² – 9x + 10) + (x³ + 7x² + 9x + 20)
6x³ + 5x² – 8x + 15 + 2x³ – 6x² – 9x + 10 + x³ + 7x² + 9x + 20
6x³ + 2x³ + x³ + 5x² – 6x² + 7x² – 8x – 9x + 9x + 15 + 10 + 20
9x³ + 6x² – 8x + 45

A + B + C = 9x³ + 6x² – 8x + 45

b) A – B – C

(6x³ + 5x² – 8x + 15) – (2x³ – 6x² – 9x + 10) – (x³ + 7x² + 9x + 20)
6x³ + 5x² – 8x + 15 – 2x³ + 6x² + 9x – 10 – x³ – 7x² – 9x – 20
6x³ – 2x³ – x³ + 5x² + 6x² – 7x² – 8x + 9x – 9x + 15 – 10 – 20
6x³ – 3x³ + 11x² – 7x² – 17x + 9x + 15 – 30
3x³ + 4x² – 8x – 15

A – B – C = 3x³ + 4x² – 8x – 15

Matemática: Potenciação de Monômios

São várias as propriedades que formam as regras de potenciação de números reais, duas delas irão ajudar na compreensão da resolução de potência que envolve monômio. Essas propriedades dizem o seguinte:

Potência de um produto (a . b)^m = a^m . b^m

Potência de potência (a^m)ⁿ = a^m ^{. n}

Iremos aplicar essas duas propriedades no cálculo de potência de monômios. Por exemplo:

Esses exemplos têm como resultado monômios, veja uma potenciação de monômio onde o resultado não será um monômio e sim, uma fração algébrica.

Dessa forma, podemos dizer que sempre que o expoente for negativo o resultado da potência será uma fração algébrica.

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